Einführung

Geometrie

Die Griechen befassten sich u.a. mit der Konstruktion geometrischer Sachverhalte. Einfache Beispiele sind die Konstruktion einer geraden Strecke, die doppelt so lang wie eine andere ist, oder die einer Geraden die einen gegebenen Winkel in zwei gleiche große Winkel teilt. Drei berühmte Probleme, die aus der Zeit der alten Griechen stammen, widerstanden den Lösungsversuchen vieler Generationen von Mathematikern: die Verdoppelung des Würfels (Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines vorgegebenen Würfels), die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein vorgegebener Kreis) und die Dreiteilung des Winkels (das Teilen eines Winkels in drei gleiche Teile). Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Mitteln der euklidiischen Geometrie wurde 1882 von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann endgültig bewiesen …

. . . und doch gibt es brauchbare Annäherungen.

 

Allgemeines

 

Wenn auf einer Unterlage (z. B. einem Blatt Papier) geometrische Figuren gezeichnet werden, gibt es aufgrund ihrer Lage zueinander oder im günstigeren Fall aufgrund ihrer Berührungen miteinander, immer eine gemeinsame Aussage.

Diese Beziehungen zu finden, ist mit Sicherheit eine große Herausforderung.

Kann man mathematische Abläufe geometrisch darstellen? Gibt es “ neue Wege “ für die Quadratur des Kreises?

Wie sieht es mit der Umwandlung in entgegengesetzter Richtung aus? Den Durchmesser des Kreises zu finden, dessen Fläche der Fläche eines vorgegebenen Quadrats entspricht?

Ist die Zahl Pi geometrisch bis auf die vierte Stelle oder fünfte Stelle hinter dem Komma (1 /10.000, 1 / 100.000 oder gar noch genauer) darstellbar und dieses nur mittels Lineal, (rechtwinkligem Dreieck) und einem Zirkel?

Ja, ich habe einige interessante Wege dafür gefunden und dies gemäß einem meiner Sinnsprüche:

 

„Die Kraft der Natur

scheint dem Menschen grenzenlos,

doch sie sagt sich nie

von den Gesetzen und ihren Grenzen los“

 

(Die Natur ist in der Regel, beständig und kalkulierbar. Auch wenn das nicht immer so scheint. Mit Sicherheit haben wir noch nicht alle Abläufe und Gesetzmäßigkeiten erkannt.)

Auch für die Teilung eines Winkels in drei gleich große Winkel gibt es einen Lösungsweg, allerdings nur mit „ ausreichender „ Genauigkeit. Die Abweichung liegt im Maximum unter 0,273 Grad, im Durchschnitt unter 0,08 Grad. Mit diesem Konstruktionsverfahren lassen sich auch die Längen der Sehnen für eine Teilung eines Kreises in gleich große, gleichschenklige Dreiecke ermitteln.

Hier entspricht die Genauigkeit der, der Winkel der Dreiecke, also den zuvor genannten Werten.

Dabei ist es für die Konstruktion aller Aufgaben nicht einmal notwendig, dass eine Einteilung oder Skala sich auf den genannten Geräten (Lineal, (Dreieck – 90 Grad -), Zirkel) befindet. Notwendig wird eine Skala oder Einteilung nur, um die Genauigkeit oder das Ergebnis mit dem Ergebnis mathematischer Verfahren vergleichen zu können.

Einfach sich die Konstruktionsausführungen unter den weiteren Punkten „Geometrie“ ansehen.